순열

1. 순열알아보기 - 정의 

순열이란 서로 다른 원소를 가진 집합에서 대상들을 선택하여 순서 있게 배열하는 것을 순열(permutation)이라고한다. n개의 원소를 가진 집합에서 r개의 서로 다른 대상을 택하는 순열을 ₙPᵣ = n(n-1)(n-2)× ··· ×(n-r+1)(단, 0<r≤n)이라고 표현한다.  n개중 r개를 택하는 순열의 일반적인 계산은 n으로부터 시작해서 하나씩 숫자을 줄여나가면서 곱하는 것이다 n에다 n-1을 곱하고 여기에 n-2를 곱해가는데 곱하는 수의 개수가 총r개가 될때까지 곱한다. 서로 다른 n개를 순서있게 나열하는 것은 n개중 n개를 나열하는 순열로 보고  ₙPₙ이라 할수 있으며  ₙPₙ=  n(n-1)(n-2)× ··· ×(n-r+1) × ··· ×2×1=n!이 된다.(1부터 n까지의 자연수를 차례대로 곱한것을 n의 계승이라 하고, 이것을 기호로 n!과 같이 나타낸다.) 또한 n개중 0개를 나열하는 방법은 아무것도 나열하지 않는다는 한가지 경우로 생각하여  ₙP₀ = 1이다

서로 다른 n개에서 r개를 택하는 순열의 수

2. n!을 이용한 순열의 수

① ₙPₙ =  n(n-1)(n-2)× ··· ×(n-r+1) × ··· ×2×1=n!

② ₙPᵣ = n!/(n-r)! (단, 0≤n≤r)

③ ₙP₀ = 1

④ 0! =1

n!을 이용한 순열 표현

3. 순열예제문제

① 축구 승부차기에서 선수 5명의 순서를 정하는 경우의 수

₅P₅=5!=5 × 4 × 3 × 2 × 1=120(5명중 5명을 택하는 순열의 수)

② 회원이 10명인 어느 동아리에서 대표 1명과 총무 1명을 뽑는 경우의 수

₁₀P₂=10 × 9=90(10명중 2명을 택하는 순열의 수)

③ 4개의 문자 a, b, c, d를 일렬로 나열할때, a,c를 이웃하게 나열하는 경우의 수

순열문제풀이

4. 순열을 위한 기본개념

① 합의 법칙

두 사건A, B가 동시에 일어나지 않을때, 사건A와 사건B가 일어나는 경우의 수가 각각 m,n이라 하면 사건A또는 사건B가 일어나는 경우의 수는 m+n이다. 합의 법칙은 동시에 일어나는 셋이상의 사건에 대하여도 성립한다.

② 곱의 법칙

두 사건 A, B에 대하여  사건 A가 일어나는 경우의 수가 m이고 그 각각에 대하여 사건 B가 일어나는 경우의 수가 n일때 두 사건 A, B가 동시에 일어나는 경우의 수는 m × n이다. 곱의 법칙은 동시에 일어나는 셋이상의 사건에 대하여도 성립한다.