유클리드 정의(기원전 330년 - 기원전 275년)

1. 유클리드

유클리드는 기하학을 연구한 고대 그리스의 대표적 수학자이다. 그는 탈레스, 피타고라스와 함께 그리스의 3대 수학자로 불린다. 유클리드는 여기저기 흩어져 있던 수학자들의 연구를 한데 모아서 수학적인 문헌 중 가장 훌륭한 걸작품 중 하나로 꼽히는 원론이라는 책을 출간했다. 이 책은 2천 년 넘게 기하학의 교과서로 쓰이고 있고 지금도 우리가 배우는 수학은 대부분 유클리드의 원론을 바탕에 두고 있다.

 

 

2.  유클리드 정의  - 점, 선,  직선, 면을 포함한 23개의 정의

• 점은 부분이 없는 것이다
• 선은 폭이 없이 길이만 있는 것이다.
• 선의 양 끝은 점들이다
• 직선이란 그위의 점에 대해 한결같이 늘어선 선이다
• 면은 길이와 폭만이 있는 것이다
• 면의 끝은 선들이다
• 평면은 직선들이 쭉 곧게 있는 것이다.
• 평면에 있는 두선이 서로 만나고 그들이 한 직선에 놓여 있지 않을 때 그들이 서로 기운 정도를 각(평각)이라 부른다
• 각을 만드는 선이 둘 다 직선일 때 그 각을 직선각(직선으로 만든 각)이라 부른다
• 직선에 다른 한 직선을 그었을때 이웃한 각들이 크기가 서로 같으면 그 각을 직각이라 부른다 이때 그은 직선은 원래 직선과 수직이다.
• 둔각(뭉툭한 각, 무딘 각)은 직각보다 큰 각이다
• 예각(뾰족한 각)은 직각보다 작은 각이다
• 둘레(경계)는 어떤 것의 끝이다
• 도형(꼴)은 둘레나 둘레들에 둘러싸인 것이다.
• 어떤 선으로 둘러싼 도형이 있어서 한 점에서 직선들을 그었을 때 그 도형에 놓이는 부분이 모두 서로 같으면 그 도형을 원이라 부른다
• 이때 그 한 점을 원의 중점(중심)이라 부른다
• 원의 지름은 중심을 지나고 양쪽 다 원둘레에서 끝나는 직선을 말한다 지름은 원을 이등분한다
• 지름을 자른 도형을 반원이라 부른다 반원의 중심은 원의 중심과 같다
• 다각형은 직선들로 둘러싸인 도형이다 삼각형은 세 개의 직선으로 둘러싸인 도형이다 사각형은 네 개의 직선으로 둘러싸인 도형이다
• 세 변이 모두 같은 삼각형을 정삼각형이라 부른다 두 변이 서로 같은 삼각형을 이등변 삼각형이라 부른다 세 변이 모두 다른 삼각형을 부등변 삼각형이라 부른다
• 직각삼각형은 직각을 가진 삼각형이다. 둔각삼각형은 둔각을 가진 삼각형이다 예각 삼각형은 세 각이 모두 예각인 삼각형이다 
•  정사각형은 변이 모두 같고 각이 모두 직각인 사각형이다 직사각형은 각이 모두 직각인 사각형이다 마름모는 변이 모두 같은 사각형이다 평행사변형은 마주 보는 변들이 서로 평행한 사각형이다 이들 이외의 사각형들을 부등변사각형이라 부른다
• 평행선이란 같은 평면에 있는 직선들로서 양쪽으로 아무리 길게 늘여도 양쪽 어디에서도 만나지 않는 직선들을 말한다

3. 유클리드 원론

유클리드는 기원전 300년경 그리스의 수학자로 도형과 공간의 성질에 대하여 연구하는 기하학에 관련된 이론을 체계화시켜서 기하학의 아버지라고 불린다. 그가  기하학의 지식을 체계적으로 정리한 책 유클리드의 원론은 기하학과 관련 있는 용어에 대한 약속이 실려 있다 이것을  '유클리드의 정의'라고 부른다. 유클리드의 원론은 모두 13권으로 구성되었으며 1-6권은 평면도형에 관한 내용이고 7-9권은 정수 10권은 무리수 11-13권은 입체도형에 관한 내용이다

 

4. 공리와 공준

유클리드 원론은 대부분 기하학에 대한 내용이다 그래서 이를 기하학의 원론이라고도 한다 정리를 하기에 앞서 우선 누구나 옳다고 인정하는 사실을 정해야 한다. 그래서 유클리드는 먼저 원론의 기준인 공리와 공준을 정했다 공리와 공준이란 너무나도 당연해서 증명이 따로 필요하지 않은 수학적인 내용이다 유클리드 원론에는 23개의 정의 외에 5개의 공리와 5개의 공준이 있다

 

• 공리 

       -  같은 것과 같은 것은 서로 같다 (a=b, b=c이면 a=c이다)

       -  같은 것에 같은 것을 더하면 그 전체는 서로 같다 (a=b일 때 a+c=b+c이다)

       -  같은 것에 같은 것을 빼면 그 나머지는 서로 같다 (a=b일 때 a-c=b-c이다)

       -  서로 겹치는 둘은 서로 같다

       -  전체는 부분보다 크다

 

• 공준

       -  임의의 점으로부터 다른 임의의 점에 대해 직선을 그을 수 있다

       -  유한의 직선을 계속 곧은 선으로 연장할 수 있다

       -  임의의 중심과 반지름을 가진 원을 그릴 수 있다

       -  모든 직각은 서로 같다

       -   하나의 직선이 두 직선과 만나고 같은 쪽에 두 직각보다 작은 각을 만들 때 이 두 직선을 한없이 연장하면 두 직각보             다 작은 각이 만들어지는 쪽에서 두 직선이 만난다