파스칼, 파스칼의 삼각형

1. 파스칼의 생애(블레즈 파스칼(1623년~1662년) : 프랑스의 수학자, 물리학자, 철학자, 종교사상가)

천재적인 머리를 가지고 태어났다. 세 살 때 어머니를 여의고, 파스칼은 아버지로부터 직접 교육을 받았다. 파스칼의 아버지는 파스칼이 15세 이전에 수학 공부를 하지 못하게 하려고 수학책을 모두 없애 버리려고 했다 하지만 이일로 파스칼은 수학에 더욱 호기심을 갖게 되어 12세부터 혼자 기하학을 공부하기 시작했다. 열여섯 살 때 이미 오늘날의 파스칼의 정리인 첫 번째  발견을 했다. 나중에 페르마와 서신을 교환하면서 확률론의 기초를 쌓은 뒤 하나하나 각 결과를 세어야 했던 페르마의 방법을 파스칼의 삼각형을 사용하여 간소화하였다.  또한 파스칼은 1642년 18살에 세무원이었던 아버지가 항상 일이 많아 고생하는 것을 보고, 수를 계산하는 계산기를 만들었는데 이 계산기가 상업적 판매가 이루어졌던 세계 최초의 계산기라고 한다. 파스칼의 계산기는 톱니바퀴장치를 사용하여 황동만으로 된 기다란 직사각형 상자 안에 다이얼이 있는 여러 개의 톱니바퀴가 들어 있다. 다이얼에서 바늘로 적절한 수를 선택하고 핸들을 당기면 윗부분에 있는 작은 창에 답이 나타나도록 되어 있다. 최초에는 다섯 자리의 수만 다룰 수 있었으며 파스칼은 기계를 매매하기 위해 50개의 시제품을 만들었으며  계속 보완하여 여덟 자리의 수를 다룰 수 있는 계산기를 만들었다. 원래 덧셈만 할 수 있었으나, 뺄셈은 빼는 수를 보수로 바꾸어 덧셈하면 된다. 곱셈은 덧셈을 반복함으로써 계산할 수 있으며, 나눗셈은 뺄셈을 반복하여 계산할 수 있다 이러한 파스칼이 만든 계산기가 발전하여 오늘날 사용하는 컴퓨터가 된 것이다 그러나 이 기계들은 살짝만 부딪쳐도 계산 오류가 생기겨나 작동이 잘 되지 않거나 하여 계산결과를 신뢰할 수는 없었다. 또한 공기의 압력, 미분 적분등을 연구했다. 인간은 생각하는 갈대라고 한 <팡세>는 그 후 사후에 정리 발간된 것이다. 파스칼은 사망직전 파리의 공공 수송체계를 설계하기도 했다. 39살에 위암으로 짧은 생을 마쳤다.

파스칼

2. 파스칼의 삼각형

파스칼의 삼각형이란 자연수를 삼각형 모양으로 배열한 것을 말하는 것으로 원재 중국인에 의해 만들어졌으나 프랑스의 수학자 파스칼이 체계적인 이론을 만들고 성질을 발견해 파스칼의 삼각형이라 부르게 되었다. 각행의 맨 적 처음과 끝은 항상 1이고 그사이의 수들은 바로 위의 행의 좌, 우를 더한 수를 써넣으면 된다. 이러한 일정한 규칙에 따라 배열된 수의 열을 달루는 수열이나 확률의 조합 문제에 활용이 된다

 

3. 파스칼의 삼각형에서 규칙찾기

파스칼의 삼각형에서 각 행의 수들의 합을 알아보면 2을 계속 곱했을 때 얻어지는 갚고 같고, 다음 행은 바로 위의 행의 합에 2를 곱한 값과 같아진다. 또한 파스칼의 삼각형을 직각삼각형 모양으로 바꾸오 놓은 후 수들의 합을 구하면 위에서 아래로 계속 더한 값은 아랫줄 바로 옆에 있는 수와 같고 대각선 방향으로 수를 더해 보면 피보나치 수열이 만들어지는 것을 알 수 있다.

 

 

파스칼삼각형규칙찾기

파스칼삼각형규칙찾기

4. 시어핀스키 삼각형

1917년 폴란드의 수학자인 와크로 시어핀스키가 고안했다. 이삼각형을 그리는 방법은 정삼각형을 한 개 그리고, 정삼각형의 각 변의 가운데 점을 연결하여 합동인 삼각형 4개를 그린 후 가운데 삼각형을 없앤다. 이러한 규칙을 반복해서 만들어지는 도형을 시어핀스키 삼각형이라고 한다. 시어핀스키 삼각형 한에는 무수히 많은 삼각형이 있지만 과정의 단계가 증가함에 따라 삼각형의 넓이는 0에 가까워진다. 파스칼의 삼각형에서 홀수 부분만 색칠하면 시어핀스키 삼각형 모양이 되어서 수열문제에 다양하게 활용된다.