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중등수학/중2

피타고라스 정리, 피타고라스 증명법

by 네이비용 2023. 11. 22.

1. 피타고라스 정리

 

직각삼각형 ABC에서 a² + b² = c²가 항상 성립한다. 반대로,

어떤 삼각형이  a² + b² = c²를 만족하면 그 삼각형은 직각삼각형이다.

 

 

 

 

[예제문제]

AB² + 5² = 13²

AB² = 13² - 5² = 169 - 25 =144

AB = 12

 

2. 피타고라스 증명(1)

피타고라스 증명법

 

  그림① 그림② 그림③
P의 넓이 4 4 9
Q의 넓이 1 4 1
R의 넓이 5 8  10

 그림①에서 2² +1² = 5, 그림②에서  2² +2² = 8, 그림③에서 3² +1² = 10이므로 a² + b² = c²가 항상 성립한다

 

[ 예제문제 ]

 

   x + 144 = 225 /  x  = 225 - 144 = 81

∴ 파란 부분의 넓이는 81

 

 

3. 피타고라스증명(2)

 

왼쪽 그림과 같이 직각삼각형 ABC와 서로 합동인 직각삼각형 4개를 배열하면 한 변의 길이가 a + b인 정사각형을 그린다. 이때 정사각형은 서로 합동인 4개의 직각삼각형과 정사각형으로 나누어지므로 다음등식이 성립한다.

(a + b)² = 2ab + c²

 a² +2ab + b² = 2ab + c²

a² + b² = c²

 

 

4. 피타고라스 증명(3)

BE와 CD의 길이를 a라 하고 AB와 EC를 b, AE와 DE를 c라 한다면 사다리꼴 ABCD의 넓이는 삼각형 ABE, AED, CDE의 넓이의 합과 같다. (a + b)×(a + b)÷2 = ab + 1/2c²  따라서 a² + b² = c² 성립한다. 예를 들어 왼쪽그림과 같이 AB가 6cm CD가 10cm일 때 △ADE의 넓이를 구하면 AE² = 6² + 10²  = 136이므로 △ADE의 넓이는 136 ÷ 2 = 68㎠가 된다

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