1. 피타고라스 정리

직각삼각형 ABC에서 a² + b² = c²가 항상 성립한다. 반대로,
어떤 삼각형이 a² + b² = c²를 만족하면 그 삼각형은 직각삼각형이다.
[예제문제]

AB² + 5² = 13²
AB² = 13² - 5² = 169 - 25 =144
AB = 12
2. 피타고라스 증명(1)

그림① | 그림② | 그림③ | |
P의 넓이 | 4 | 4 | 9 |
Q의 넓이 | 1 | 4 | 1 |
R의 넓이 | 5 | 8 | 10 |
그림①에서 2² +1² = 5, 그림②에서 2² +2² = 8, 그림③에서 3² +1² = 10이므로 a² + b² = c²가 항상 성립한다
[ 예제문제 ]

x + 144 = 225 / x = 225 - 144 = 81
∴ 파란 부분의 넓이는 81
3. 피타고라스증명(2)

왼쪽 그림과 같이 직각삼각형 ABC와 서로 합동인 직각삼각형 4개를 배열하면 한 변의 길이가 a + b인 정사각형을 그린다. 이때 정사각형은 서로 합동인 4개의 직각삼각형과 정사각형으로 나누어지므로 다음등식이 성립한다.
(a + b)² = 2ab + c²
a² +2ab + b² = 2ab + c²
a² + b² = c²
4. 피타고라스 증명(3)

BE와 CD의 길이를 a라 하고 AB와 EC를 b, AE와 DE를 c라 한다면 사다리꼴 ABCD의 넓이는 삼각형 ABE, AED, CDE의 넓이의 합과 같다. (a + b)×(a + b)÷2 = ab + 1/2c² 따라서 a² + b² = c² 성립한다. 예를 들어 왼쪽그림과 같이 AB가 6cm CD가 10cm일 때 △ADE의 넓이를 구하면 AE² = 6² + 10² = 136이므로 △ADE의 넓이는 136 ÷ 2 = 68㎠가 된다