2학기 중간고사 서술형 대비 문제

1. 서술형 1번 문제 

전체집합 U가 실수전체의 집합일 때, 세 조건 p, q, r를 각각 p : ∣x∣ < k , q : x²  < 25 , r : x² - 28x -48 > 0 이라 하자 q는 p이기 위한 충분조건이고, ~p는 r이기 위한 필요조건일 때, 모든 자연수 k의 값의 합을 모두 구하는 과정을 서술하시오

 

< 풀이 >

① q는 p이기 위한 충분조건 : q → p ,  ~p는 r이기 위한 필요조건 : r → ~p 대우는  p → ~r 도 성립한다 

② p :  -k  < x < k ,  q : -5 < x < 5 , r : (x+6)(x-8) > 0  , ~r :  (x+6)(x-8) ≤ 0  -6 ≤ x ≤ 8

③

 

 

 

 

 

 

따라서     5  ≤  k  ≤  6     k = 5, 6   k의 합은 5 + 6 = 11  

 

< Help 개념 >

 p → q 가 참이면  p ⇒ q 라고 표기한다. p는 q이기 위한 충분조건이라고 하며   q는 p이기 위한 필요조건이라고 한다.    p ⇒ q이고 q  ⇒   p 이면 p ⇔ q이라고 표기하고 p는 q이기 위한 필요충분조건이라 한다.  두 조건 p, q의 진리집합을 P, Q이라고 할 때, p → q 가 참인것은 P ⊂Q 일때 참인 관계가 성립된다

 

 

2. 서술형 2번 문제 

직선 3x - y +1 = 0을 직선 y = x에 대하여 대칭이동한 후, x축의 방향으로 -2만큼 평행이동하였더니 원 x² + ( y - a )² = 4의 넓이를 이등분하였다. 상수 a의 값을 구하시오.

 

 

< 풀이 >

직선  3x - y +1 = 0를 직선 y = x에 대하여 대칭이동하면 3y - x + 1 = 0이 된다 대칭이동한 후, x축의 방향으로 -2만큼 평행이동하면 3( y - 1 ) - ( x + 2 ) + 1 = 0 정리하면 - x + 3y - 4 = 0 이 된다. 원 x² + ( y - a )² = 4의 넓이를 이등분하려면 중심을 지나야 하므로 ( 0, a )이 직선 위를 있어야 하므로 대입하면 3a - 4 = 0  따라서  a = 4/3 이 된다.  ∴   a = 4/3  

 

< Help 개념 >

① 평행이동:어떤 도형을 모양과 크기를 바꾸지 않고 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 옮기는 것을 평행이동이라고 한다.

② 점의 평행이동 : 점(x, y)을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 점의 좌표는 (x + a, y + b) 이때 이 평행이동을 (x, y) → (x + a, y + b)로 나타낸다. 

③ 도형의 평행이동 : 방정식 f(x , y)= 0이 나타내는 도형을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 도형의 방정식은  f(x-a , y-b) = 0

④ 대칭이동 : 어떤 도형을 한 직선 또는 한 점에 대하여 대칭인 도형으로 이동하는 것을 대칭이동이라고 한다

⑤ 점의 대칭이동 :  점(x, y)을 x축에 대한 대칭이동을 하면  점(x, y) → ( x, -y) y좌표의 부호가 바뀐다.  점(x, y)를 y축에 대한 대칭이동을 하면  점(x, y) → (- x, y) x좌표의 부호가 바뀐다.  점(x, y)를 원점에 대한 대칭이동을 하면  점(x, y) → ( -x, -y) x, y좌표의 부호가 바뀐다.  점(x, y)를 직선 y = x에 대한 대칭이동을 하면  점(x, y) → (y, x) x, y좌표가 서로 바뀐다.  점(x, y)을 직선 y = -x에 대한 대칭이동을 하면  점(x, y) → (-y, -x) x, y좌표가 서로 바뀌고 부호도 바뀐다. 원점에 대한 대칭이동은 x축에 대하여 대칭이동한 후 y축에 대하여 대칭이동한 것과 같다. 

⑥ 도형의 대칭이동 : 방정식  f(x , y)= 0이 나타내는 도형을  x축에 대한 대칭이동을 하면  f(x , y)= 0  → f(x , -y)= 0 y 대신 -y를 대입한다. 방정식  f(x , y)= 0이 나타내는 도형을  y축에 대한 대칭이동을 하면  f(x , y)= 0  → f(-x , y)= 0 x 대신 -x를 대입한다. 방정식  f(x , y)= 0이 나타내는 도형을  원점에 대한 대칭이동을 하면  f(x , y)= 0  → f(-x , -y)= 0  x 대신 -x를, y 대신 -y를 대입한다. 방정식  f(x , y)= 0이 나타내는 도형을 y = x 대한 대칭이동을 하면  f(x , y)= 0  → f(y , x)= 0  x 대신 y를, y 대신 x를 대입한다. 방정식  f(x , y)= 0이 나타내는 도형을 y = -x 대한 대칭이동을 하면  f(x , y)= 0  → f(-y , -x)= 0  x 대신 -y를, y 대신 -x를 대입한다. 

⑦ 원의 중심을 지나는 직선은 원의 넓이를 이등분한다