고1 문제풀이

< 문제1 >

서로 다른 세 자연수를 원소로 갖는 집합 A ={a, b, c}에 대하여 집합 B = {x+y∣x∈A, y∈A, x ≠ y}라 하자  집합B={6, 9, 11}일때 집합 A의 원소 중 가장 큰 수를 구하시오.

 

<풀이>

x+y	a	b	c
a		a+b	a+c
b	a+b		b+c
c	a+c	b+c

B = {a+b, b+c, a+c} 이다 a, b, c를 a <b <c라 가정하면 a+b=6,  b+c=9, a+c=11이 된다  이세식을 연립해서 풀면a=2,b=4,c=7이 된다. 따라서 가장 큰 수는 7이 된다.

 

< 문제2 >

세 집합 A = {1, 2, 3}, B = {2a+1|a∈A}, C = {b-a|a∈A , b∈B}에 대하여 n(A) + n(B) + n(C)의 값은?

 

<풀이>

B의 원소는 A의 원소 1, 2, 3을 2a+1에 대입하여 풀면 3, 5, 7이 나온다 C의 원소는 A의 원소 1, 2, 3을 b-a에 대입하여 풀면 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6이 나온다 따라서 A의 원소의 개수는 3개,  B의 원소의 개수는 3개, C의 원소의 개수는 7개이다 n(A) + n(B) + n(C) = 3 + 3 + 7 = 13개 나온다

 

< 문제3 >

공집합이 아닌 집합 A가 자연수를 원소를 가질 때, 다음 조건을 만족시키는 A집합의 개수를 구하시오. a∈A 이면81/a∈A

 

<풀이>

집합A가 자연수를 원소를 가지므로 a는 81의 약수이어야 한다. 따라서 a는 1, 3, 9, 27, 81이 된다. 하지만 원소 1이 존재한다면 81의 결과가 나오므로 1, 81은 같이 A의 원소로 존재해야만 한다. 따라서 A = {1, 81},  A = {3, 27},  A = {9},  A = {1, 9, 81}, A = {3, 9, 27}, A = {1, 3, 27, 81} , A = {1, 3, 9, 27, 81}이 된다. 따라서 문제조건에 만족하는  A집합의 개수는 7이 된다.

 

< 문제4 >

세집합 A={x-2|1<x≤3}, B={x+a|-1 ≤x<7}, C={x|x≥2a}에 대하여 A⊂B⊂C를 만족시키는 정수 a의 개수를 구하시오

 

<풀이>

A={x-2|1<X≤3}, A의 조건에서 X-2를 X로 바뀌면 X-2에 1을 대입하면 -1, X-2에 3을 대입하면 1이다 따라서 A={x|-1<X≤3}이다 이와 마찬가지로 B={x|-1+a ≤x<7+a}이다. A⊂B⊂C이므로 2a< -1+a, -1+a≤-1, 1<7+a이다 따라서 a<-1, a≤0, a>-6이므로 -6<a<-1이다 조건에 만족하는 정수 a는 -5, -4, -3, -2으로 4개이다.

A,B,C조건에 맞는 a범위찾기