이차함수의 최대 최소

1. 공통부분이 있는 이차함수 최대. 최소 풀이방법

함수에 공통부분이 있다면 공통부분을 다른 문자로 치환하여 그 문자에 대한 함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다 이때 문자의 값의 범위에 주의해야 한다

ex1)  -2 ≤ x ≤ 1일때 함수 y = (x² + 2x)² +  (x² + 2x) - 3의 최댓값과 최솟값을 구하기

① (x² + 2x) = t로 치환하기

② t 범위 구하기  t =  x² + 2x = (x² + 2x + 1 -1) =  (x + 1)² - 1이다 x의 범위가  -2 ≤ x ≤ 1이므로  t의 범위는 -1 ≤ t ≤ 3가 된다. (그래프 참조하기)

공통부분이 있는 함수의 최대 최소

③ y = t² + 2t -3 = (t² + 2t +1 -1) -3 = (t + 1) ² - 4 (-1 ≤ t ≤ 3),  t의 범위가 -1에서 3이므로 위의 그림처럼 t가 3일 때 최댓값 12가 되고 t가 -1일 때 최솟값 -4를 갖게 된다.

④ ∴ t = -1일때 최솟값 -4,  t = 3일때 최댓값 12

 

 

2. 완전제곱식을 이용한 이차식의 최대. 최소 풀이 방법

실수 x, y의 조건이 있는 x, y에 대한 이차식 ax² + by² + cx + dy + e의 최댓값 또는 최솟값은 x, y에 대한 완전제곱식 꼴 a(x-m)²+b(y-n)²+k(a, b, c, k, m, n은 상수)의 꼴로 변형한 후 (실수) ² ≥ 0 임을 이용한다. 이때 a > 0, b > 0이면 최솟값 k를 갖고, a < 0, b < 0 이면 최댓값 k를 갖는다.

ex1) x²- 6x + 2y² + 4y + 7의 최솟값 구하기(x, y 실수) : x²- 6x + 9 - 9 + 2( y² + 2y + 1 - 1) + 7 = (x-3)² + 2(y+1)² - 4 , x, y가 실수이므로  (x-3)² ≥ 0, (y+1)² ≥ 0 이므로  (x-3)² + 2(y+1)² - 4≥ -4이다 따라서 x²- 6x + 2y² + 4y + 7 ≥ -4가 된다. 따라서 주어진 식은 x = 3일때, y = -1일때 최솟값 -4를 갖는다.

ex2) 6y - x² - y² - 4x -12의 최댓값 구하기 (x, y 실수) : -(x² + 4x + 4 - 4) - ( y² - 6y + 9 -9) -12 = -(x + 2)² - (y - 3)² + 1이 된다. 이때 x, y는 실수이므로 (x + 2)² ≥ 0, (y - 3) ²≥ 0가 성립되며 -(x + 2)² - (y - 3)² ≤ 0 , -(x + 2)² - (y - 3)² + 1 ≤ 1이 된다. 따라서  6y - x² - y² - 4x -12 ≤ 1이므로 주어진 식은  x = -2일때, y = 3일때 최솟값 1를 갖는다.

 

 

3. 조건식이 주어졌을 때 이차식의 최대. 최소 풀이 방법

주어진 등식을 한 문자에 대하여 정리한 후 이차식에 대입하여 한문자에 대한 이차식으로 나타낸다 이식을 이용하여 이차식의 최댓값 또는 최솟값을 구한다.

ex1) y = -2x -3을 만족시키는 실수 x, y에 대하여 2x² + y²의 최솟값 구하기 : 먼저  y = -2x -3를 이차식 2x² + y²에 대입한다. 2x² + (-2x - 3)² = 2x² + 4x² + 12x + 9 = 6x² + 12x + 9 = 6( x² + 2x + 1 - 1) + 9 = 6(x + 1)² + 3이 된다. 따라서 y = -2x -3을 만족시키는 실수 x, y에 대하여 2x² + y²의 최솟값는 x = -1일때 최솟값 3을 갖는다.