음수의 유래

음수란 0보다 작은 실수로 주로 마이너스(-) 기호를 붙여서 나타낸다. 중국어나  일본어에서는 부수라고 쓴다. 음수의 존재는 오래전부터 알려져 있었다고 생각되나, 수학자들이 음수의 존재를 인정했던 것은 아니다. 디오판토스의 유명한 저서 「산학」에는 5x + 25 = 0의 해가 존재하지 않는 것으로 서술되어 있다. 이러한 특성은 매우 오랫동안 나타났는데 방정식의 비약적인 발전이 이루어진 16세기까지에도 방정식의 음수 해는 인정되지 않았다. 가령 사차 방정식의 근의 공식이 수록된 카르다노의 저서 「Ars Magna」에는 x² + ax = b, x² = ax + b (a>0, b>0)를 서로 다른 경우로 생각한 것이 대표적인 사례이다. 이러한 경향은 애초에 수가 무엇인가에 개수를 나타내기 위해 생겨났기 때문인데 이러한 개념에 따르면 0은 '무'를 의미하고, 음수는 무보다 더 작은 것이라는 개념으로 이해된다. 17세기에 이르러서야 점차 음수의 존재성이 널리 받아들여지기 시작했으며 이후 허수의 존재성을 비교적 빨리 인정하는 데 도움이 되었다. 반면 동양에서는 음수의 개념을 보다 빨리 파악하였다. 한나라의 유희는 3세기경 음수의 덧셈과 뺄셈을 계산하는 방법을 찾았다. 인도의 브라마굽타는 이차식으로부터 음수 해를 찾는 방법에 대해 다루었다는 기록이 현재도 남아 있다. 

 

음수의 연산중에 음수와 음수의 곱이 양수가된다는 점은 대수학의 이론으로 설명할 수 있다. 군이란 어떤 집합에서 결합법칙이 성립하는 덧셈에 해당하는 연산이 정의되어 있고, 항등원과 모든 원소의 역원이 존재하는 것을 나타내는 수학적인 개념이다. 이군에 분배법칙이 성립하는 곱하기에 해당하는 연산까지 정의를 할 수 있으면 그것을 환이라 부른다. 음수는 실수의 집합에서 +연산에 대한 양의 실수의 덧셈에 대한 역원으로 이해할 수 있으므로 (음수)×(음수)가 양수가 된다는 것은 일반적인 환에서 두 원소의 덧셈에 대한 역원의 곱은 두 원소의 곱과 같다는 것으로 이해할 수 있다. 이를 증명하면 다음과 같다. 

 

(-a)×(-b+b)=0(덧셈에 대한 항등원)이므로 분배법칙에 의하여 (-a)×(-b)+(-a)×b=0이 된다. 따라서 (-a)×(-b)는 (-a)×b의 덧셈에 대한 역원이다. 같은 방식으로 (-a+a)×b=0이므로  (-a)×b는  a×b의 역원이다. 즉  (-a)×(-b)는  a×b의 덧셈에 대한 역원의 역원이다. 일반적으로 군에서 역원의 역원은 자기 자신과 같으므로  (-a)×(-b) =  a×b이다.