방정식의 유래

1. 동양 수학에서의 방정식

방정식은 식에 있는 특정한 문자의 값에 따라 참, 거짓이 결정되는 등식이다. 중국이나 다른 한자어권에서는 방정이라고 불렸는데 이는 고대 중국에서 일차 연립방정식을 네모난 모양으로 상수들을 써 놓고 풀었기 때문이다. 현재도 일차 연립방정식을 같은 방법으로 행렬을 이용해서 푼다. 거의 대부분의 문명에서 다항방정식의 개념이 있었고 각자의 방법으로 발전하였다. 실제 동아시아의 다항방정식을 푸는 기술은 매우 앞서 있었는데, 3세기경 중국의 유휘(B.C260경)가 지은 「구장산술」에서 이미 삼차 다항방정식의 풀이가 나오는 등, 고대부터 제곱근이나 세제곱근을 구하는 방법을 확립한 바 있다. 한국에서도 중국의 영향을 받아 방정식의 개념이 발전하였다. 조선시대 세종 때에는 십차 다항방정식까지 풀었다는 기록이 있었고 최석정(1646~1715)이 지은 「구수략」에서 다룬 방정식을 기초로 한 마방진의 풀이는 오일러(1707~1783)보다 앞선 결과로 인정받는 등 방정식에 대한 높은 이해를 가지고 있었다.

 

2. 유럽에서의 방정식(문자의 사용, 다항 방정식의 발전)

고대 중국등 동양 수학에서 필요에 의한 방정식을 발전시킨 것과는 달리 인도, 중동, 유럽 등에서는 이론적인 방향에서 다항방정식의 해법을 다루었다. 특히 문자를 사용하여 일반적인 다항방정식을 다루기 시작하면서 방정식에 대한 연구를 체계화하였다. 오늘날의 x를 사용한 방정식은 데카르트(1596~1650)가 가장 먼저 사용한 것으로 알려져 있다. 이차 다항방정식의 일반적 해법은 고대 그리스 시대에 발견된 것으로 전해진다. 오마르 카얌(1048~1131)은 원추 곡선에 의해 삼차 다항방정식의 해를 작도하는 기하적 해법을 고안하기로 하였다. 일반적인 대수적 해법릉 16세기에 가서야 발견되었다. 볼로냐 대학의 페로(1465~1526)는 x³ + ax + d = 0꼴의 다항방정식을 푸는 방법을 발견하였고 이후 타르탈리아(1499~1557)가

ax³ + bx² + d = 0꼴의 다항방정식의 해법을 발견하였다. 카르다노(1501~1576)는 페로와 타르탈리아의 해법을 보완, 정리하여 대중적으로 발표하였고 이후 삼차 다항방정식의 풀이는 카르다노의 정리로 알려졌다. 삼차 다항방정식을 해결하는 과정에서 허수의 개념이 발전되었는데, 이는 카르다노의 가장 큰 업적으로 인정받고 있다. 사차 다항방정식의 대수적 해법은 카르다노의 제자인 페라리(1522~1565)가 1540년에 발견하였다. 이후 오차 이상의 다항방정식의 대수적 해법에 대한 질문은 당시시대의 가장 중요한 문제가 되었지만 오랜 시간 동안 해결되지 못하고 있었다. 250여 년이 지난 19세기에 이르러서야 아벨(1802~1829)이 해결하였다. 일반적인 오차 다항방정식의 근이 유한 번의 제곱근 처리 및 사칙연산으로 답을 구할 수 없다는 것을 증명하였다. 근의 공식의 비존재성에 대한 이 놀라운 내용은 당시로서는 너무 난해하고 추상적이어서 인정받지 못하였지만 이후 군론의 발전에 결정적인 영향을 미쳤고 19세기 수학의 가장 눈부신 업적 중 하나로 평가받고 있다.

 

3. 선형방정식

일차방정식은 최고차항의 차수가 1인 방정식을 뜻한다. 일차방정식은 선형방정식이라고도 불리는데 이는 일차식의 그래프가 직선 형태로 나타나기 때문이다. 만일 변수가 많이 있다면 일차식의 그래프는 평평한 유클리드 공간형태의 모양이 된다. 이러한 이유에서 유클리드 공간, 평면 등은 직선의 일반화로 보기도 한다. 일차식은 수학 전반에 걸쳐 다양한 방법과 형태로 등장한다. 주로 자연을 모델링하는 많은 방정식들의 근사 형태로 등장하는데, 이는 비선형방정식은 일반적으로 풀기가 매우 어려우므로 이를 선형으로 근사하여 해를 찾기 위함이다. 이러한 방식은 미분방정식의 해법이나 양자역학 등의 물리학 등 자연과학의 대부분의 분야에서 나타나는 방식이다. 공학이나 경제학, 응용수학 등에서의 활용도도 매우 높다. 통계에서 복합적 자료들을 다루는 데 필수로 쓰일 뿐 아나라 심지어 전산학의 암호론이나 부호 이론에서도 관련된 개념을 사용하고 있다.